Сын режиссера Анатолия Эфроса и критика Натальи Крымовой, Дмитрий начинал как театральный художник: в 1976 году он окончил постановочный факультет Школы-студии МХАТ и начал работать в Театре на Малой Бронной, где оформлял спектакли отца. В девяностые Крымов занимался станковой живописью и графикой, в нулевые стал педагогом ГИТИСа. Как режиссер Крымов дебютировал только в 2002 году, поставив «Гамлета» с Валерием Гаркалиным в главной роли. Дмитрию тогда было 47 лет.
С тех пор он успел выпустить множество спектаклей и, несмотря на поздний дебют, стал одним из наиболее известных режиссеров России. Его спектакли отличали необычные художественные решения: затейливо придуманные декорации, выглядящие так, будто их собрали из того, что нашлось в подсобке, безудержная фантазия и способность переиграть давно знакомый сюжет таким образом, чтобы он открылся с какой-то совсем иной стороны. Долгие годы его лаборатория существовала внутри московской Школы драматического искусства, откуда Крымов ушел в 2018-м, сказав, что его тошнит от «художественного руководства директрисы Ольги Соколовой».
Примечательно, что после того, как руководство Центра им. Мейерхольда выступило против войны, Департамент культуры закрыл ЦИМ как самостоятельную единицу и присоединил именно к ШДИ (который всё так же возглавляет Ольга Соколова).