О биографии и личной жизни Андрея Кондрашова из открытых источников известно немного. Назначение журналиста на пост руководителя ТАСС застало его спустя всего несколько дней после 50-летнего юбилея. Родился Кондрашов 30 июня 1973 года в Алма-Ате.
В Москве закончил ныне закрывшийся негосударственный вуз Международного независимого эколого-политологического университета (МНЭПУ) по направлению журналистики.
Кондрашов женат на женщине по имени Ирина, о которой также известно немногое. Единственная дочь Кондрашова 21-летняя Анна учится во ВГИКЕ. Из открытых данных следует, что по результатам вступительных экзаменов в 2020 году она заняла первое место среди всех абитуриентов и прошла на бюджет.